Цепочка импликаций

Утверждение

Предположим, что

1. $P \rightarrow Q$,
2. $Q \rightarrow R$.

Тогда

$$P \rightarrow R.$$

Стратегия

Наша цель состоит в том, чтобы доказать импликацию. Для этого предположим $P$, выведем $R$ из данных посылок, а затем применим правило введения импликации.

Доказательство

Предположим $P$.

Из $P \rightarrow Q$ и $P$ по правилу отделения (modus ponens) получаем $Q$.

Из $Q \rightarrow R$ и $Q$ по правилу отделения (modus ponens) получаем $R$.

Следовательно,

$$P \rightarrow R.$$

Это следует по правилу введения импликации.

$\square$

Замечания

Это доказательство показывает, как правило введения импликации может сочетаться с правилом отделения (modus ponens).