Как накапливаются локальные ошибки

Мы можем делать приближение всё более точным, разделяя систему на всё более мелкие части. Но точность каждой отдельной части ещё не отвечает на другой вопрос:

Что происходит, когда все эти небольшие ошибки складываются вместе?

Рассмотрим тот же круг, разделённый на концентрические кольца. Если разрезать и распрямить одно кольцо с внутренним радиусом $r$ и толщиной $\Delta r$, его точная площадь равна

$$A_{\text{exact}} = \pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2.$$

Раскрывая квадрат, получаем

$$A_{\text{exact}} = 2\pi r\Delta r+\pi(\Delta r)^2.$$

Наше прямоугольное приближение учитывает площадь

$$A_{\text{rectangle}} = 2\pi r\Delta r.$$

Поэтому часть, которую мы не учитываем, не просто неопределённо «мала». Мы можем вычислить её точно:

$$E_{\text{one}} = A_{\text{exact}}-A_{\text{rectangle}} = \pi(\Delta r)^2.$$

Это говорит нам нечто важное о поведении приближения. Площадь прямоугольника пропорциональна $\Delta r$, тогда как ошибка пропорциональна $(\Delta r)^2$.

При фиксированном $r>0$

$$\frac{E_{\text{one}}}{A_{\text{rectangle}}} = \frac{\pi(\Delta r)^2}{2\pi r\Delta r} = \frac{\Delta r}{2r}.$$

Следовательно,

$$\lim_{\Delta r\to0} \frac{E_{\text{one}}}{A_{\text{rectangle}}} = 0.$$

По мере того как кольцо становится тоньше, ошибка становится пренебрежимо малой по сравнению с площадью, которую мы приближаем.

Но важен и темп её уменьшения. Если сделать кольцо в $10$ раз тоньше,

$$\Delta r\rightarrow\frac{\Delta r}{10},$$

то его ошибка станет равна

$$\pi\left(\frac{\Delta r}{10}\right)^2 = \frac{E_{\text{one}}}{100}.$$

Таким образом, уменьшение толщины кольца в $10$ раз уменьшает ошибку одного кольца в $100$ раз.

Но пока это только локальный результат.

Если разделить весь круг радиуса $R$ на $n$ одинаковых колец, то

$$\Delta r=\frac{R}{n}.$$

Ошибка каждого кольца тогда равна

$$E_{\text{one}} = \pi\left(\frac{R}{n}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{n^2}.$$

Всего таких ошибок будет $n$. Поскольку ошибка одинакова для каждого кольца,

$$E_{\text{total}} = nE_{\text{one}} = n\frac{\pi R^2}{n^2} = \frac{\pi R^2}{n}.$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty}E_{\text{total}}=0.$$

Различие между локальной и накопленной ошибкой здесь существенно. Того, что каждое отдельное приближение становится точнее, самого по себе недостаточно, чтобы понять, что происходит со всей моделью. Нужно также знать, насколько быстро уменьшается локальная ошибка и сколько таких ошибок накапливается.

Здесь эти два эффекта взаимодействуют вполне определённым образом. Если сделать кольца в $10$ раз тоньше, каждая локальная ошибка станет в $100$ раз меньше, но самих колец станет в $10$ раз больше. Поэтому суммарная ошибка уменьшится в $10$ раз.

О точности целого нельзя судить только по величине одной локальной ошибки. Она зависит от соотношения между тем, как уменьшаются локальные ошибки, и тем, как они накапливаются во всей системе.