Площадь круга как предел конечных приближений

Мы уже знаем точную площадь круга:

$$A=\pi R^2.$$

Поэтому цель этого исследования не в том, чтобы заново вывести известную формулу. Вместо этого мы можем использовать круг как случай, для которого точный ответ уже известен, и задать другой вопрос: можем ли мы восстановить это точное значение с помощью последовательности конечных приближений?

Один из способов сделать это — разделить круг на концентрические кольца. Если мысленно разрезать и распрямить кольцо, его можно приближённо представить как длинную полосу, напоминающую трапецию. Заменим её прямоугольником, высота которого соответствует длине внутренней окружности кольца. При этом часть площади останется неучтённой, поэтому полученное для каждого кольца значение будет меньше его реальной площади.

Сложим площади всех этих прямоугольников, чтобы приблизить площадь всего круга. Так мы преобразуем геометрию круга в сумму площадей простых прямоугольников.

Эта же идея применима далеко за пределами круга: когда граница области имеет криволинейную форму и её площадь нельзя получить с помощью простой геометрической формулы, мы можем разделить область на всё более мелкие части, складывать конечные приближения и исследовать, что происходит, когда размер этих частей стремится к нулю.

Здесь, поскольку точный ответ нам уже известен, мы можем наблюдать этот процесс и сравнивать каждое приближение с $\pi R^2$.

Как увеличение числа колец влияет на точность результата? Что происходит, когда кольца становятся всё тоньше? Может ли последовательность конечных приближений восстановить точную площадь круга, несмотря на то что каждое конечное приближение $S_n$ остаётся меньше точной площади?

Построение приближения

Для примера возьмём круг радиуса

$$R=1$$

и последовательно разделим его на $4$, $10$, $1\,000$ и $1\,000\,000$ концентрических колец.

Если круг разделён на $n$ одинаковых колец, толщина каждого кольца равна

$$\Delta r=\frac{1}{n}.$$

Обозначим внутренний радиус кольца через

$$r_k=\frac{k}{n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

Таким образом, внутренние радиусы колец:

$$0,\quad \frac1n,\quad \frac2n,\quad \frac3n,\quad\ldots,\quad\frac{n-1}{n}.$$

Длина внутренней окружности каждого кольца определяется как

$$C=2\pi r.$$

При замене кольца прямоугольником его высота равна длине внутренней окружности:

$$h=2\pi r,$$

а ширина равна толщине кольца:

$$\Delta r=\frac1n.$$

Следовательно, площадь одного прямоугольника:

$$A_{\text{rect}}=2\pi r\Delta r.$$

Чтобы приблизить площадь всего круга, складываем площади всех прямоугольников (используя левую сумму Римана, поскольку в нашем случае высота каждого прямоугольника определяется значением функции в левой границе каждого интервала):

$$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}2\pi r_k\Delta r.$$

Здесь $k$ нумерует кольца от $0$ до $n-1$. Для каждого кольца его внутренний радиус равен

$$r_k=\frac{k}{n},$$

а ширина каждого интервала равна

$$\Delta r=\frac{1}{n}.$$

Знак суммы выражает ту же операцию для каждого кольца: вычислить площадь соответствующего прямоугольника и сложить полученные площади.

Подставляем внутренние радиусы:

$$S_n= 2\pi\frac1n \left( 0+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}{n} \right).$$

Выносим $1/n$:

$$S_n= \frac{2\pi}{n^2} (0+1+2+\cdots+(n-1)).$$

Сумму в скобках можно упростить, записав её один раз в прямом порядке, а второй раз в обратном:

$$0+1+2+\cdots+(n-2)+(n-1)$$ $$(n-1)+(n-2)+(n-3)+\cdots+1+0$$

При почленном сложении двух строк получаем $n$ слагаемых, каждое из которых равно $n-1$. Таким образом, две исходные суммы вместе равны $n(n-1)$, поэтому

$$0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S_n &=\frac{2\pi}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}2\\ &=\pi\frac{n-1}{n}\\ &=\pi\left(1-\frac1n\right). \end{aligned}$$

Ошибка приближения

Для понимания того, насколько результат отличается от реальной площади круга, вычислим абсолютную и относительную ошибки.

Абсолютная ошибка показывает, насколько вычисленное значение отличается от точного:

$$E_n=A-S_n.$$

Поскольку при $R=1$

$$A=\pi,$$

получаем

$$E_n=\pi-S_n=\frac{\pi}{n}.$$

Относительная ошибка показывает, какую долю точного значения составляет абсолютная ошибка:

$$e_n=\frac{\pi-S_n}{\pi}.$$

В общем виде:

$$\text{relative error} = \frac{\text{absolute error}}{\text{exact value}}.$$

В нашем случае:

$$\begin{aligned} e_n &=\frac{\pi-S_n}{\pi}\\ &=\frac{\pi/n}{\pi}\\ &=\frac1n. \end{aligned}$$

Результаты

При $n=1\,000\,000$ наше приближение учитывает 99.9999% площади, а неучтёнными остаются всего 0.0001%.

Если увеличить $n$ в 10 раз, абсолютная и относительная ошибки уменьшаются в 10 раз.

Что происходит при конечном $n$?

Какое бы большое значение $n$ мы ни выбрали, при любом конечном числе колец полученное значение остаётся меньше реальной площади.

Поскольку

$$A=\pi R^2=\pi\cdot1^2=\pi,$$

а

$$S_n=\pi\left(1-\frac1n\right),$$

для любого конечного $n$

$$\frac1n>0.$$

Следовательно,

$$S_n<\pi=A.$$

Ни одно конечное приближение не становится точной площадью круга.

При $n=1$ получаем

$$S_1=0.$$

Это не ошибка: единственный прямоугольник строится по внутреннему радиусу $r_0 = 0$, поэтому его высота и площадь равны нулю.

Предел

При этом, когда

$$n\to\infty,$$

имеем

$$\frac1n\to0.$$

Поэтому

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &=\lim_{n\to\infty}\pi\left(1-\frac1n\right)\\ &=\pi. \end{aligned}$$

В последовательности

$$S_1,S_2,S_3,\ldots$$

каждое $S_n$ соответствует конечному числу колец. Отдельного элемента $S_\infty$ в этой последовательности нет.

Таким образом,

$$\lim_{n\to\infty}S_n=\pi$$

не означает, что существует какое-то последнее, бесконечно точное приближение. Это утверждение о поведении всей последовательности: увеличивая конечное значение $n$, мы можем сделать $S_n$ сколь угодно близким к $\pi$.

Таким образом, ни одно конечное приближение в последовательности не даёт точную площадь круга. При этом сама последовательность имеет точный предел. Точное значение определяется не каким-то последним бесконечно точным приближением, а предельным поведением последовательности конечных приближений.