Площадь круга как предел конечных приближений

Исследуем, как меняется точность приближения площади круга при разделении его на разное количество концентрических колец.

Если мысленно разрезать и распрямить кольцо, его можно приближённо представить в виде длинной полосы, близкой к трапеции. Заменим её прямоугольником, высота которого соответствует длине внутренней окружности кольца. При этом часть площади останется неучтённой, поэтому для каждого кольца мы получим значение меньше реального.

Сложим площади всех полученных прямоугольников, чтобы приблизить площадь всего круга.

Как увеличение числа колец повлияет на точность результата? Что будет, если делить круг на всё большее количество всё более тонких колец? Может ли последовательность приближений дать точную площадь круга, если каждое конечное приближение $S_n$ остаётся меньше $\pi$?

Построение приближения

Для примера возьмём круг радиуса

$$R=1$$

и последовательно разделим его на $4$, $10$, $1\,000$ и $1\,000\,000$ концентрических колец.

Если круг разделён на $n$ одинаковых колец, толщина каждого кольца равна

$$\Delta r=\frac{1}{n}.$$

Обозначим внутренний радиус кольца через

$$r_k=\frac{k}{n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

Таким образом, внутренние радиусы колец:

$$0,\quad \frac1n,\quad \frac2n,\quad \frac3n,\quad\ldots,\quad\frac{n-1}{n}.$$

Длина внутренней окружности каждого кольца определяется как

$$C=2\pi r.$$

При замене кольца прямоугольником его высота равна длине внутренней окружности:

$$h=2\pi r,$$

а ширина равна толщине кольца:

$$\Delta r=\frac1n.$$

Следовательно, площадь одного прямоугольника:

$$A_{\text{rect}}=2\pi r\Delta r.$$

Чтобы получить приближение площади всего круга, складываем площади всех прямоугольников:

$$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}2\pi r_k\Delta r.$$

Подставляем внутренние радиусы:

$$S_n= 2\pi\frac1n \left( 0+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}{n} \right).$$

Выносим $1/n$:

$$S_n= \frac{2\pi}{n^2} (0+1+2+\cdots+(n-1)).$$

Используем

$$0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S_n &=\frac{2\pi}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}2\\ &=\pi\frac{n-1}{n}\\ &=\pi\left(1-\frac1n\right). \end{aligned}$$

Ошибка приближения

Для понимания того, насколько результат отличается от реальной площади круга, вычислим абсолютную и относительную ошибки.

Абсолютная ошибка показывает, насколько вычисленное значение отличается от точного:

$$E_n=A-S_n.$$

Поскольку при $R=1$

$$A=\pi,$$

получаем

$$E_n=\pi-S_n=\frac{\pi}{n}.$$

Относительная ошибка показывает, какую долю точного значения составляет абсолютная ошибка:

$$e_n=\frac{\pi-S_n}{\pi}.$$

В общем виде:

$$\text{relative error} = \frac{\text{absolute error}}{\text{exact value}}.$$

Это общий принцип, а не специальная формула для площади круга.

В нашем случае:

$$\begin{aligned} e_n &=\frac{\pi-S_n}{\pi}\\ &=\frac{\pi/n}{\pi}\\ &=\frac1n. \end{aligned}$$

Результаты

При $n=1\,000\,000$ наше приближение учитывает 99.9999% площади, а неучтёнными остаются всего 0.0001%.

Если увеличить $n$ в 10 раз, абсолютная и относительная ошибки уменьшаются в 10 раз.

Что происходит при конечном $n$?

Какое бы большое значение $n$ мы ни выбрали, при любом конечном числе колец полученное значение остаётся меньше реальной площади.

Поскольку

$$A=\pi R^2=\pi\cdot1^2=\pi,$$

а

$$S_n=\pi\left(1-\frac1n\right),$$

для любого конечного $n$

$$\frac1n>0.$$

Следовательно,

$$S_n<\pi=A.$$

Ни одно конечное приближение не становится точной площадью круга.

При $n=1$ получаем

$$S_1=0.$$

Это не ошибка: единственный прямоугольник строится по внутреннему радиусу $r_0=0$, поэтому его высота и площадь равны нулю.

Предел

При этом, когда

$$n\to\infty,$$

имеем

$$\frac1n\to0.$$

Поэтому

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &=\lim_{n\to\infty}\pi\left(1-\frac1n\right)\\ &=\pi. \end{aligned}$$

В последовательности

$$S_1,S_2,S_3,\ldots$$

каждое $S_n$ соответствует конечному числу колец. Отдельного элемента $S_\infty$ в этой последовательности нет.

Поэтому

$$\lim_{n\to\infty}S_n=\pi$$

не означает существование некоторого последнего бесконечно точного приближения. Это утверждение о поведении всей последовательности: увеличивая конечное $n$, мы можем сделать $S_n$ сколь угодно близким к $\pi$.

Точная площадь круга не является одним из конечных приближений, а определяется как предел всей последовательности конечных приближений.